Главная Ваш Е-офис ПС-Банк Образование и наука Контакт

ВизиткаОпросыПочтаПубликацииГруппы

14.06.2010 6:15 - исследовательская работа "Лента Мебиуса"

Рейтинг публикации: популярно (0), полезно (0)

Автор: Чебунин Андрей 

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрели применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас Лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов , красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые

Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуются с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль всё время летящий прямо может вернуться к месту своего старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого следует сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти- спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника,

Цели: Изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса, найти, где используется

Предмет исследования: Лента Мёбиуса.

Объект исследования: свойства ленты Мебиуса, использование ленты.

Задачи:- Изучить историю возникновения ЛМ, её топологические свойства.

- Провести разнообразные эксперименты с лентой Мёбиуса.

- Доказать теоремы.

-Выяснить, нашел ли лист Мебиуса практическое применение в повседневной жизни.

Глава I.История возникновения ленты.

Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором Лейпцигского университета.

В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180о), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Она относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 г. Мёбиус в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус – в 1862 г. Открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Также известны труды Мёбиуса и по проектной геометрии. В частности, он впервые ввёл систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей(листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

Лист Мёбиуса топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Глава II.Эксперименты.

Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Мною проведены несколько экспериментов, в которых постарался ответить на вопросы.

Вопросы

1. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль посередине?

2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?

3.Если начать закрашивать ЛМ с одной стороны, не переходя через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?

4. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?

В результате проделанного эксперимента пришел к выводам:

• 1. Если разрезать ленту вдоль посередине, то вместо двух колец получится одно. Причём оно больше и тоньше исходного.

• 2. Если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получится два кольца. Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

• 3. При закрашивании закрасится вся лента.

• 4. При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. При закрашивании её непременно нужно перевернуть на другую сторону. При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой..

И действительно: Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо , сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

Глава III.Свойства и теоремы.

Топологические свойства:

• Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.

• Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность, На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

• Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

• Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

• «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер ЛМ равен шести.

Чем знаменита лента Мёбиуса?

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значения лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать ,но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ, ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски меньше λ – нельзя. Очень хотелось найти это λ.

Удивительно , но решение этой задачи до сих пор не известно.

Здесь мы докажем теорему, где основным сюжетом является вычисление нижней грани длин бумажных полосок ширины 1,из которых можно склеить несмятую ленту Мебиуса.

Теорема. λ ≤ √3

Для доказательства этой теоремы достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше √3

Предложим сначала, что её длина в точности равна√3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника . Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба. Края АВ и СD полоски совместятся, причем точка А совместится с точкой D, а точка В – с точкой С. Получится лента Мёбиуса.

При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам нестрашен: его можно заменить близким к нему изгибанием.(Непоправимое снимание бумаги происходит, когда две линии перегиба пресекаются, т.е. когда лист складывается наподобие носового платка – всё это известно нам из повседневного опыта.)

Как выглядит получившаяся лента Мёбиуса. Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника АВС,А’В’С’ лежат параллельно друг другу, соответствующими вершинами; стороны АВ и А’B’, В’C’ и B”C”, С”A” и CА соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Вполне вероятно, что это теорема неулучшаема. Ведь улучшить ее- значит придумать новую конструкцию ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена- за столько лет! Вот почему можно ожидать, что λ =√3.

Заключение.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

В результате нашей работы мы доказали теорему. Она может быть полезна для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям(очень полезным и совершенно бесполезным). Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

Она магнитофонной ленты удлиняет срок,

Пружину делает рабочей впрок,

И ремень передач, штурвал и принтер

Используют её всеядный принцип.

Однако если в путь по ленте устремиться,

То впору будет тут и заблудиться,

Поскольку в перемычке ленты той

Уж вовсе нет материи живой.

Вот так и смерть враз настигает нас.

Когда судьбы окончится рассказ,

Она по ленте Мёбиуса ускользает

И нас с собой в дорогу забирает.

Бермудский треугольник тоже лента объясняет

Куда же корабли там прытко исчезают.

Попав в портал меж разными мирами,

Они, увы, навеки расстаются с нами.

А астронавты, что по ленте той кочуют

И в космосе незваные ночуют,

Домой вернутся уж в обличии ином –

Зеркальном отражении своём.

Лентой Мёбиуса закручен путь

в какую сторону не иди…

Обязательно увидишь еще того,

Кого однажды встретил на пути…

Если нужно кого-то догнать,

не трать сил, времени на ускорение…

Лучше просто подождать или

двинуться в обратном направлении

Список использованной литературы:

1. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

2. Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.

3. Квант: научно-популярный журнал.-1975,№ 7; 1977, №7

4. INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.

5. file: // D \ материалы%20 из%20интернета\ Лист%20Мёбиуса%20 - %20Википедия.

6. Материал из свободной энциклопедии %20Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Открытые проблемы»; «Подобные объекты»; «Геометрия и топология».

Оцените публикацию: [+] [-] [полезно]
Ваша оценка:


+комментировать


Главная | Ваш Е-офис | ПС-Банк | Образование и наука | Контакт
«ПрофиСтарт» Республика Бурятия, 2009